三角形余弦定理公式及證明方法

余弦定理，是描述三角形中三邊長度與一個(gè)角的余弦值關(guān)系的數(shù)學(xué)定理。是勾股定理在一般三角形情形下的推廣。下面是小編為大家精心推薦三角形余弦定理的相關(guān)內(nèi)容，希望能夠?qū)δ兴鶐椭?/p>

三角形余弦定理上的定義

三角形余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運(yùn)用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個(gè)邊求角的問題，若對余弦定理加以變形并適當(dāng)移于其它知識，則使用起來更為方便、靈活。直角三角形的一個(gè)銳角的鄰邊和斜邊的比值叫這個(gè)銳角的`余弦值。

(資料圖片)

三角形余弦定理的公式

對于邊長為a、b、c而相應(yīng)角為A、B、C的三角形，有：

a2=b2+c2-bc·cosA

b2=a2+c2-ac·cosB

c2=a2+b2-ab·cosC

也可表示為：

cosC=(a2+b2-c2)/ab

cosB=(a2+c2-b2)/ac

cosA=(c2+b2-a2)/bc

這個(gè)定理也可以通過把三角形分為兩個(gè)直角三角形來證明。

如果這個(gè)角不是兩條邊的夾角，那么三角形可能不是唯一的(邊-邊-角)。要小心余弦定理的這種歧義情況。

三角形余弦定理的證明

平面向量證法(覺得這個(gè)方法不是很好，平面的向量的公式a·b=|a||b|Cosθ本來還是由余弦定理得出來的，怎么又能反過來證明余弦定理)∵如圖，有a+b=c(平行四邊形定則：兩個(gè)鄰邊之間的對角線代表兩個(gè)鄰邊大小)

∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b|Cos(π-θ)

(以上粗體字符表示向量)

又∵Cos(π-θ)=-Cosθ

∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ(注意：這里用到了三角函數(shù)公式)

再拆開，得c2=a2+b2-2abcosC

即cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b

同理可證其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是將cosC移到左邊表示一下。

平面幾何證法

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a

則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根據(jù)勾股定理可得：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinBc)2+(a-cosBc)2

b2=(sinB*c)2+a2-2accosB+(cosB)2c2

b2=(sinB2+cosB2)c2-2accosB+a2

b2=c2+a2-2accosB