怎樣構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

一．創(chuàng)設(shè)情景

(資料圖片)

史寧中教授認(rèn)為“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑”。它鮮明地表述了這樣的意義：建立模型思想的本質(zhì)就是使學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系。

“20 世紀(jì)中葉以來(lái)，數(shù)學(xué)自身發(fā)生了巨大的變化，特別是與計(jì)算機(jī)的結(jié)合，使得數(shù)學(xué)在研究領(lǐng)域、 研究方式和應(yīng)用范圍等方面得到了空前的拓展。數(shù)學(xué)可以幫助人們更好地探求客觀世界的規(guī)律，并對(duì)現(xiàn)代社會(huì)中大量紛繁復(fù)雜的信息作出恰當(dāng)?shù)倪x擇與判斷，同時(shí)為人們交流信息提供了一種有效、簡(jiǎn)捷的手段。數(shù)學(xué)作為一種普遍適用的技術(shù)，有助于人們收集、整理、描述信息，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而解決問(wèn)題。因此，在修訂版課標(biāo)思想指導(dǎo)下，應(yīng)用題教學(xué)已經(jīng)不能僅僅局限于課本例題的教學(xué)，教師應(yīng)該與時(shí)俱進(jìn)，著眼于社會(huì)生活中豐富多彩的.內(nèi)容，根據(jù)需要選取素材， 使應(yīng)用題的教學(xué)內(nèi)容與社會(huì)生活緊密聯(lián)系，賦予應(yīng)用題教學(xué)鮮活的生命力，然后教師應(yīng)該用教材教，而不能死板的教教材，只有這樣才能使學(xué)生更好的關(guān)注社會(huì)生活， 更好的體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。選取生活中的素材進(jìn)行創(chuàng)造，可以使應(yīng)用題的教學(xué)更富情趣，有利于學(xué)生情商的培養(yǎng)、興趣的激發(fā)，減少學(xué)生對(duì)應(yīng)用題的畏懼心理。如，劉雯老師執(zhí)教《相遇問(wèn)題》時(shí)，先用媒體播放王明和李華上學(xué)的動(dòng)畫(huà)情景（王明和李華分別住在學(xué)校的兩側(cè)，兩人同時(shí)從家出發(fā)，相對(duì)而行，經(jīng)過(guò)5分鐘兩人同時(shí)到達(dá)學(xué)校。），誘發(fā)學(xué)生觀察兩物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，尋找新知學(xué)習(xí)的切入點(diǎn)——喚起相遇問(wèn)題的生活經(jīng)驗(yàn)。接著教師與學(xué)生聯(lián)手，現(xiàn)場(chǎng)模擬表演（王明與李華運(yùn)動(dòng)情況），引導(dǎo)學(xué)生用上“兩個(gè)物體”、“兩個(gè)地方、”“同時(shí)出發(fā)”、 “相對(duì)而行”、“最后相遇”這幾個(gè)關(guān)鍵詞描述他們的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。這樣，從學(xué)生熟悉的生活實(shí)例入手創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，采用模擬表演、打手勢(shì)等直觀生動(dòng)的演示方式描述王明和李華的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，激發(fā)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極主動(dòng)地投入到探究學(xué)習(xí)活動(dòng)中去，引導(dǎo)學(xué)生理解“同時(shí)出發(fā)”、“相對(duì)而行”、“最后相遇”等關(guān)鍵詞的含義，掌握相遇問(wèn)題的基本特征，初步建立相遇問(wèn)題的模型雛形，為建立數(shù)學(xué)模型做好準(zhǔn)備。

二．構(gòu)建模型

修訂版義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，其基本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展。它不僅考慮到數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)，還關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程，進(jìn)而使學(xué)生在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。因此，在情景創(chuàng)設(shè)之后，教師的一般做法是引導(dǎo)學(xué)生親歷應(yīng)用題模型的構(gòu)建過(guò)程，賦予應(yīng)用題鮮活的生命力，使學(xué)生潤(rùn)物細(xì)無(wú)地漸入學(xué)習(xí)佳境。如，劉雯老師“相遇問(wèn)題”這節(jié)課，一是先構(gòu)建“圖形模型”。教師放手讓學(xué)生運(yùn)用已有的知識(shí)基礎(chǔ)、方法策略和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，用自己喜歡的方法對(duì)問(wèn)題情境中相關(guān)聯(lián)的信息加以梳理（如，圖畫(huà)、圖表等）。幫助學(xué)生直觀形象地理清信息與信息之間、信息與問(wèn)題之間的內(nèi)在聯(lián)系，為有效解決問(wèn)題做好鋪墊；接著，對(duì)各種解題策略進(jìn)行分析，比較各種方法的異同，突出畫(huà)線段圖整理信息的優(yōu)越性和必要性；最后在“自主整理——組內(nèi)交流——展示匯報(bào)——分析比較——提煉升華”等一系列活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生獲得解決問(wèn)題的策略，積累解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，提高解決問(wèn)題的能力。二是構(gòu)建“算式模型”。在學(xué)生自主整理信息，理清數(shù)量關(guān)系，明確解題思路，探究計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，學(xué)生獨(dú)立列式解答，建構(gòu)起了相遇問(wèn)題的算式模型。三是構(gòu)建“數(shù)量關(guān)系模型”。引導(dǎo)學(xué)生對(duì)分析解決問(wèn)題的過(guò)程進(jìn)行觀察與比較、分析與綜合、抽象與概括，煉出相遇模型背后所蘊(yùn)含著的結(jié)構(gòu)性關(guān)系，并運(yùn)用形式化的數(shù)學(xué)符號(hào)刻畫(huà)出這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)——“速度和×?xí)r間=總速度”，從而建立相遇問(wèn)題的基本模型。

三．解釋與應(yīng)用模型

分析解答應(yīng)用題的過(guò)程，就是解釋與應(yīng)用模型的過(guò)程。在小學(xué)低年級(jí)一般運(yùn)用綜合法解答，到中高年級(jí)則需要分析法和綜合法的分別使用或者并用，在解釋與應(yīng)用模型這一環(huán)節(jié)中，一般經(jīng)過(guò)“理解題意、分析數(shù)量關(guān)系、列式計(jì)算、驗(yàn)算寫(xiě)答案”四個(gè)步驟。設(shè)置習(xí)題時(shí)要注意，一是要進(jìn)一步創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，凸顯數(shù)學(xué)化過(guò)程；二是要循序漸進(jìn)，有梯度；三是要具有啟發(fā)性、趣味性和拓展性，讓學(xué)生樂(lè)于解決實(shí)際問(wèn)題，在解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中體驗(yàn)成功的喜悅，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)，使學(xué)生的情商得以培養(yǎng)。如，劉雯老師“相遇問(wèn)題”這節(jié)課，設(shè)計(jì)了“基本練習(xí)、變式練習(xí)和拓展練習(xí)”三個(gè)層次的、并帶有現(xiàn)實(shí)背景的練習(xí)，對(duì)相遇問(wèn)題進(jìn)行解釋與應(yīng)用。使學(xué)生在生活化內(nèi)容和數(shù)學(xué)化探索中，獲得知識(shí)、方法與數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

總之，數(shù)學(xué)建模就是通過(guò)建立模型的方法來(lái)求得問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程。這一過(guò)程的步驟可用如下流程來(lái)體現(xiàn)：

觀察實(shí)際情境→發(fā)現(xiàn)提出問(wèn)題→抽象成數(shù)學(xué)模型→得到數(shù)學(xué)結(jié)果。

首先是“從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題”。這說(shuō)明發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題是數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)。然后“用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”。在這一步中，學(xué)生要通過(guò)觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等等數(shù)學(xué)活動(dòng)，完成模式抽象，得到模型。這是建模最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。最后，通過(guò)模型去求出結(jié)果，并用此結(jié)果去解釋、討論它在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的意義。顯然，數(shù)學(xué)建模過(guò)程可以使學(xué)生在多方面得到培養(yǎng)而不只是知識(shí)、技能，更有思想、方法，也有經(jīng)驗(yàn)積累，其情感態(tài)度（如興趣、自信心、科學(xué)態(tài)度等）的培養(yǎng)也會(huì)得以落實(shí)。